算数クイズ『トーナメント試合数』

オリンピック最終日って言うことで、
スポーツの試合にちなんだ
トーナメント試合数の問題です。

『問題』
各国代表の１００名によるトーナメント戦が組まれています。

トーナメント戦；勝ち残り方式。夏の高校野球はこの方式。

三位決定戦はありません。

実績のある選手二名は、準々決勝からの参加（シード）。

さて、総試合数は全部で何試合あるでしょう？

（決勝；１試合、準決勝；２試合、準々決勝；４試合、、、、の総和は？）






『解答』
トーナメント戦は、勝ち残りで、負けると次の試合がない。
ということは、
優勝者を除いて、他の者（９９人）は必ず１回だけ負ける。
（２回負けることはない。）
試合では、必ず、”勝ち”と”負け”の２者が存在する。
試合を”敗者”のモノとしてカウントすると、
”敗者”の数＝試合数
が成立。
”敗者”は、優勝者を除いた９９人なので、
答えは、９９試合！！

シードがあろうとなかろうと関係なし！！


『一言』
これって、すごくないですか？
小学生の頃、友達から教えられて、感動したこと覚えてます。

どんなトーナメントを組もうとも、
例えば、シードが２人でも、１０人でも、二回戦から始まろうとも、三回戦から始まろうとも、
答えは同じです。
試合数は、「参加者数－１」です。

複雑なモノが、見方によって、チョー簡単になる例の代表だと今でも思ってます。

夏の高校野球は、代表４９校です。
ということは、試合数は４８試合。
１日４試合あるとすれば、４８÷４＝１２日で終了します。
しかし、準々決勝、準決勝は１日２試合となり、決勝は１日１試合となるので、

１２日よりちょっと増えた１５日間で終了します。

夏の高校野球予定


これ書いている途中で、日本がレスリングで３８個目のメダル、しかも金とりました！

スポーツっていいですね！！

算数クイズ－褒美の米俵はどうもらう－

問題
時は、江戸時代。
殿様が、村に貢献した青年２人に褒美をあげる事になった。

殿様「青年たちよ、米俵を褒美として授けよう。どれくらい欲しいか？」
青年A「一日一俵いただければ、うれしく存じます。期間は１ヵ月ほどで。」
青年B「一日目一粒、二日目二粒、三日目四粒と倍倍でいただければ、うれしく存じます。期間は１ヵ月ほどで。」


殿様
「青年Aよ。お前はしっかり者じゃ。これからも村を頼むぞ！」
「青年Bよ。お前はあまりにも欲がないのー。だがその謙虚さ気に入った。うちの娘をもらってくれ！」


さて、青年AとBの貰った米俵はそれぞれいくつ？
参考数値
米俵１個；６０ｋｇ
米俵１個；米粒２７０万粒






解答


青年A
１俵/日×３０日＝３０俵

青年B
1+2+4+8+16+32+64+128＋・・・・・・（粒）
2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+･････････+2^29（粒）
（2^3は2の3乗の意味で計算すると2*2*2=8）
ここで公式の登場。




この問題の場合、ｘ＝2、ｎ＝29となるので、

（２＾３０－１)/(２－１)＝1073741824-1＝1073741823（粒）
米俵１個；米粒２７０万粒なので、
1073741823（粒）÷２７０万粒＝397.6俵＝約４００俵！！


まとめると、青年の褒美は、


青年A；３０俵
青年B；４００俵と殿様の娘

算数クイズ－犬との散歩と収束－

問題
犬と一緒に散歩に行きます。
目的地は、４ｋｍ離れた公園です。
私は、時速４ｋｍでゆっくり公園まで歩きます。
犬は、元気なので、先に公園へ向かい、公園着くと、折り返し、また私の所に帰ってきます。
そしてすぐにまた、公園に向かい、私の所に来るとまた公園に向かいます。
犬は、常に時速１２ｋｍで走っています。
犬と私、同時に家を出発しました。
私が公園に着いたとき、犬の走った総距離はいくらですか？


解答
同時に出発して最初に犬と会う時間をＸ(時間）とすると、
私の歩いた距離
４Ｘ
犬の歩いた距離
２０Ｘ

犬の走った距離は、８ｋｍから私の歩いた距離を引いたものなので。
２０Ｘ＝４＊２－４Ｘ
１６Ｘ＝８
Ｘ＝０．５時間


二回目は、
２０Ｘ＝２＊２－４Ｘ
１６Ｘ＝４
Ｘ＝０．２５時間


三回目は、
２０Ｘ＝１＊２－４Ｘ
１６Ｘ＝２
Ｘ＝１/８時間
・・・・・・・・・

犬の走った時間は、
1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋・・・・・・
犬の走った距離は、
12/2＋12/4＋12/8＋12/16＋・・・・・・

あー。面倒。
もう、ムリ。。

しかし、もっと簡単な方法があります。

小学生でもできる簡単な計算方法は、

私が公園に到着するには、１時間かかる。
犬は、１時間の間ずーっと走っているので、
走った距離は、
１２ｋｍ/時間＊１時間＝１２ｋｍ　！！


アラ、カンタン！！



数学的に、強引に、収束計算をすると、以下のようになります。

以下あるサイトからの抜粋。

************************


例　無限級数


の収束・発散を調べ、収束するときは和を求めよ。

第 ｎ 部分和　Ｓ_ｎ＝１＋1/2＋1/4＋・・・＋1/2^ｎ-1＝２(１－(1/2)^ｎ)　なので、
数列 ｛ Ｓ_ｎ ｝ は収束し、ｎ → ∞　のとき、Ｓ_ｎ → ２　である。
したがって、無限級数は収束し、その和は、２ である。

（注意）　Ｓ_ｎ＋1/2^ｎ-1　を順次計算して、Ｓ_ｎ＋1/2^ｎ-1＝２　を示してもよい。

上記のことは、次のように図式化すれば、極限の計算を知らなくても納得できるだろう。



上記の無限級数は、無限等比級数（幾何級数）といわれる。
***************************

これから、

1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋・・・・・・＝１時間
12/2＋12/4＋12/8＋12/16＋・・・・・・＝１２ｋｍ

となり、答えは当然同じです！

数学クイズ－忍者は葦を使ってお堀の深さを測る－

『問題』
忍者がお城に潜入しようとしています。
お城の周りにはお堀があります。
お堀の深さが分かれば、お堀を渡る作戦を立てられます。
比較的浅ければ竹馬使って、深ければ葦をスノーケル代わりに潜水し渡ります。

忍者は、お堀の水面に生えている葦を使って、水深を測れることに気づきました。
忍者が、葦の一番先を持ち、引っ張りながら、
葦の先端が水面に到達するまで横に移動させました。

「深さは△△じゃ」

さて問題。

葦の先端と水面からの高さが１０ｃｍ、

葦の移動した距離が１００ｃｍ

の場合、水深はいくらでしょう？

『解答』

葦の全長をL（ｃｍ）とすると、

水深は、L-10（ｃｍ）

葦の横への移動距離は、１００（ｃｍ）で、

「水深L-10（ｃｍ）」と「移動距離１００（ｃｍ）」は直角の関係にある。

葦の先端は、葦の根を中心とした円弧を描くので、
直角三角形の長辺（一番長い辺）をL（ｃｍ）とした、
L（ｃｍ）、L-10（ｃｍ）、１００（ｃｍ）の直角三角形がお堀の水中で描かれる。


ピタゴラスの定理から、
L＾２＝（L-10）＾２＋１００＾２
L＾２＝L＾２－２０L＋１００＋１００００
２０L＝１０１００
L＝５０５（ｃｍ）
水深は、L-10（ｃｍ）なので、
５０５-１０＝４９５（ｃｍ）
約５（ｍ）！！


『一言』
忍者、やるな！

算数クイズ－三歩進んで二歩下がる－

[問題]
三歩進んで二歩下がる方式で、神社の階段を上ります。
階段は全部で１０００段です。
一歩にかかる時間は、１秒です。
神社に到達するのにいくらかかりますか？










[回答]
９９７段目から、三歩進むと、１０００段となる。
ということは、９９７段目までの時間プラス３秒が正解となる。

９９７段目までの時間は、
三歩進んで二歩下がるので、
１段上がるのに必要な時間が５秒（３＋２＝５）。

９９７段目に到達するのに必要な時間は、
９９７段×５秒/段　＝４９８５秒

よって、
４,９８５＋３　＝４,９８８秒

４,９８８秒÷６０　＝　８３分＋８秒

８３分＋８秒　＝　１時間と２３分と８秒

答え；１時間と２３分と８秒

電験と数学－ベクトル解析－

｢理論」の”電磁気”で、時々ベクトル解析が出てきます。

大学でベクトル解析習ったような気がするけど、
まじめにやった記憶はなく、さっぱりわからん！

”電磁気”は、
電磁気自体が、とっつきにくく、理解しにくい上に、
ベクトル解析という特別な数学が必要になるため、
チョー難しいです。

しかも、電験で毎年ベクトル解析が出題されるわけではなく、
数年に一度しか出題されません。

「最難項目で、出題頻度低め」

これでは、勉強する気起きないのも当然です。

私は、すっかりステてました。
実際ステても、理論合格した年もありました。

が、ある年ベクトル解析ちょっとかじっていれば解ける問題が出題され、
それすら解けなく情けない思いをした経験があり、勉強することにしました。

div　rot　スカラとベクトル、電位がベクトルで、電位差がスカラで、、、
納得するまでに膨大な時間費やしました。

結局、納得し後の試験では、ベクトル解析は出題されませんでした。

あれれれ？って感じですが、いい頭の体操だったと今思ってます。

電磁気を理解できる（と勘違いしている）自分って素敵だと、思うようにしています。

電験と数学－三角関数－

三角関数、公式いっぱいあって、苦手です。
いつも試験の前日に、公式覚えてます。
公式はいろいろありますが、
電験で一番使う公式は、



だと思います。

この公式眺めただけでは、何がなんだかさっぱりわかりませんが、
実はすごい事を秘めています。

asinθでa=１００とします。
bcosθでｂ＝２とします。

１００sinθ＋２cosθ
どんな波形ができるか想像してみてください。

cosθの係数は小さいので、１００sinθが支配的である。
１００sinθを書いた後に、小さい２cosθの波を足すと。。。。

なんかのこぎりの歯みたいなのが波打ってるイメージを想像しませんか？

少なくとも私はそうイメージしました。

しかし、現実は違います。

きれいなサインカーブとなるんです。

なんか不思議？なぜ？

そう思いません？


自動制御でしょっちゅう使います。

この公式の証明は意外と簡単です。

ぜひ覚えてください！！

算数クイズ－１から９全部使って式を完成－

インターネットで面白い問題見つけました。

問
□内に、１～９までの数字を一つずつ入れてください
（一種類とは限りません）

□＋□＝□
□－□＝□
□×□＝□













考え方
①掛け算の式の答え（右）は、一桁なので、左側は、
２×３　２×４　のいづれか（他の組み合わせでは１０を超える）。
よって
２×３＝６
か
２×４＝８
の二種類。
②２，４，８の場合、残りは、１，３，５，６，７，９
この中で、偶数は６のみ。
しかし、偶数は、必ず2個必要となるので、不適合。

奇数＋偶数＝奇数
奇数－奇数＝偶数


奇数－偶数＝奇数
奇数＋奇数＝偶数

③よって、２，３，６の場合を考える。
残りは、１，４，５，７，８，９
組み合わせを考えると、


４＋５＝９
８－７＝１（８－１＝７）




１＋７＝８
９－５＝４（９－４＝５）


回答

４＋５＝９
８－７＝１（８－１＝７）

２×３＝６


１＋７＝８
９－５＝４（９－４＝５）
２×３＝６

算数クイズ－バケツを満杯にかかる時間－

問
あるバケツを満水にするのに、A管１本では１５分かかり、B管１本では１０分かかります。
A管２本と、B管２本を同時に使ってこのバケツに水を入れると、満水になるまで何分かかりますか？





解
A管は、一分間に1/15バケツを満たす。
B管は、一分間に1/10バケツを満たす。
A管２本と、B管２本の場合は、
一分間に1/15×2+1/10×2=2/15+1/5=5/15=1/3
一分間に1/3バケツを満たすということは、
３倍の時間があれば、バケツ一杯になる。
よって、３分あれば、満水になる！

【一言】
意外と、カンタンだな。
物足りない感じー。

電験と数学－微分方程式－

電験でも微分方程式使います。
三種ではあまり出題されません。二種か一種です。
微分方程式と言うと、かなり難易度高そうですが、
微分方程式を使う問題は固定されていて、
変圧器の負荷試験時の温度上昇問題が有名です。
変圧器に電流を流し、飽和温度や、飽和するまでの時間を求めます。

初めてこの問題を解いたときびっくりしたのを覚えています。
「負荷試験という現場でよく見かける試験が、
実は微分方程式で割とカンタンに計算できる」。。。マジ？

問題では、変圧器本体の放熱係数とか与えられているためカンタンに見えますが、
実際は、それを調べなくてはならず実は大変です。
が、荒らくれ者の現場に、育ちのいい坊ちゃんが現れたような、
意外感があり、面白いです。

電験と数学－行列－

電気回路計算とか、制御（状態方程式）とかで行列を使います。
行列ですよ。行列。
高校で習った。
いかにも、一生使う機会なさそうな行列が、いきなり出てきてびっくりした記憶あります。
理由はわかりませんが、
・方程式が解けたり
・制御が安定か判定できたり
します。
本当に不思議です。
代数幾何って奥深いですね。
ベクトルも行列で表したりします。
じっくり勉強する価値ありです。

算数クイズ（天秤はかりと二種類の分銅を３回使って５０ｇ計測）

算数クイズにはまってきました。
今日は、天秤の問題です。

[問題」
てんびんばかりと､２ｇと７ｇの分銅がひとつずつあります｡
目の前には､塩の山が広がっています｡
はかりを３回だけ使って､山の中から塩をぴったり５０ｇ取り出してください｡















「解答」
1回目
分銅二個使って、９ｇの塩を取り出す。
２回目
７ｇの分銅と、先ほどの９ｇの塩を使って、１６ｇの塩を取り出す。
３回目
９ｇの塩と１６ｇの塩を使って、２５ｇの塩を取り出す。

これにより塩は、
９＋１６＋２５　＝５０ｇ取り出せる！！

小学生算数クイズ（二種類のコップで１L牛乳を丁度半分に分ける）

インターネットで、面白い問題探してきました。

問題
Ａくんとその弟のＢくんは､｢二人で分けて飲みなさい｣と言われお母さんから１ﾘｯﾄﾙのｼﾞｭｰｽをもらいました｡
そこでけんかしないよう半分に分けることにしましたが､あいにく7ﾃﾞｼﾘｯﾄﾙ入るｺｯﾌﾟと3ﾃﾞｼﾘｯﾄﾙ入るｺｯﾌﾟの２つしかありません｡
しかし２人は思考をこらした結果､見事半分ずつ飲むことができました｡
さて､どのようにして分けたでしょうか？
ただし､ｺｯﾌﾟには目盛りなどは一切ないものとします｡

回答
ジュースパック；１ﾘｯﾄﾙ
Aコップ；7ﾃﾞｼﾘｯﾄﾙ
Bコップ；3ﾃﾞｼﾘｯﾄﾙ
とする。

１．ジュースパックからA満タンにジュースを入れる。A；７、B;０、パック；３
２．Aから、B満タンにジュースを入れる。A；４、B；３、パック；３
３．Bのジュースをジュースパックに戻す。A；４、B；０、パック；６
４．Aから、B満タンにジュースを入れる。A；１、B；３、パック；６
５．Bのジュースをジュースパックに戻す。A；１、B；０、パック；９
６．AのジュースをBにうつす。A；０、B；１、パック；９
７．ジュースパックからA満タンにジュースを入れる。A；７、B；１、パック；２
８．AのジュースをBが満タンになるまで入れる。A；５、B；３、パック；２
９．Bのジュースをジュースパックに戻す。A；５、B；０、パック５

多分もっと簡単な回答あると思いますが、上が私の回答です。

小学算数難問「線香３個使って時間を計測する方法」

久しぶりに算数の問題です。
娘が学校から宿題で出されたようです。
なかなか面白い問題です。
ちなみに私５分で解きました（ちょっと自慢）。

問題
１本燃え尽きるのに、ピッタリ1時間かかる蚊取線香が三個あります。
１時間４５分を計りたいとき、どうやって火をつけますか。
(火は必ず端につけます。折ってはだめです。）

回答
０：００に線香二個に火をつける。
線香１；端と端の二箇所に点火
線香２；一箇所の端に点火。

線香１が燃え尽きた時が０：３０なので、その時、
線香２の燃えていない端に点火。

線香２が燃え尽きたときが０：４５なので、その時、
線香３の端一箇所に点火。

線香３が燃え尽きたときが、１：４５

「一言」
どうです？皆さんできましたか？
ちなみに、うちは、妻、娘共にお手上げでした。
→と思っていたら、しばらくたってできてました。

中学受験

今回は、中学受験問題（算数）です。

2/7＜1/3　
（7分の2より大きく、3分の1より小さい）を満たす、
分子が17となる分数は何個あるか ?
（分母は整数とする）

【回答】
2/7＝17/59.5
1/3＝17/51
17/59.5 ＜17/51 
よって、59,58,57,56,55,54,53,52が該当する。
しかし約分できてしまうと、分子が１７ではなくなるため、分母が17倍数でないことを確認する。
１７＊２＝３４
１７＊３＝５１
１７＊４＝６８
59,58,57,56,55,54,53,52 は１７の倍数ではない。
よって、８個