算数クイズ－犬との散歩と収束－

問題
犬と一緒に散歩に行きます。
目的地は、４ｋｍ離れた公園です。
私は、時速４ｋｍでゆっくり公園まで歩きます。
犬は、元気なので、先に公園へ向かい、公園着くと、折り返し、また私の所に帰ってきます。
そしてすぐにまた、公園に向かい、私の所に来るとまた公園に向かいます。
犬は、常に時速１２ｋｍで走っています。
犬と私、同時に家を出発しました。
私が公園に着いたとき、犬の走った総距離はいくらですか？


解答
同時に出発して最初に犬と会う時間をＸ(時間）とすると、
私の歩いた距離
４Ｘ
犬の歩いた距離
２０Ｘ

犬の走った距離は、８ｋｍから私の歩いた距離を引いたものなので。
２０Ｘ＝４＊２－４Ｘ
１６Ｘ＝８
Ｘ＝０．５時間


二回目は、
２０Ｘ＝２＊２－４Ｘ
１６Ｘ＝４
Ｘ＝０．２５時間


三回目は、
２０Ｘ＝１＊２－４Ｘ
１６Ｘ＝２
Ｘ＝１/８時間
・・・・・・・・・

犬の走った時間は、
1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋・・・・・・
犬の走った距離は、
12/2＋12/4＋12/8＋12/16＋・・・・・・

あー。面倒。
もう、ムリ。。

しかし、もっと簡単な方法があります。

小学生でもできる簡単な計算方法は、

私が公園に到着するには、１時間かかる。
犬は、１時間の間ずーっと走っているので、
走った距離は、
１２ｋｍ/時間＊１時間＝１２ｋｍ　！！


アラ、カンタン！！



数学的に、強引に、収束計算をすると、以下のようになります。

以下あるサイトからの抜粋。

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例　無限級数


の収束・発散を調べ、収束するときは和を求めよ。

第 ｎ 部分和　Ｓ_ｎ＝１＋1/2＋1/4＋・・・＋1/2^ｎ-1＝２(１－(1/2)^ｎ)　なので、
数列 ｛ Ｓ_ｎ ｝ は収束し、ｎ → ∞　のとき、Ｓ_ｎ → ２　である。
したがって、無限級数は収束し、その和は、２ である。

（注意）　Ｓ_ｎ＋1/2^ｎ-1　を順次計算して、Ｓ_ｎ＋1/2^ｎ-1＝２　を示してもよい。

上記のことは、次のように図式化すれば、極限の計算を知らなくても納得できるだろう。



上記の無限級数は、無限等比級数（幾何級数）といわれる。
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これから、

1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋・・・・・・＝１時間
12/2＋12/4＋12/8＋12/16＋・・・・・・＝１２ｋｍ

となり、答えは当然同じです！